Solución final
Solución problema lata
Obtener el mínimo de metal para crear una lata
v=πr^2h
P=(2π〖r)〗^2+2h
P=4πr^2+2h
P=(P-4πr)/2
A=2πr
A=2πr((P-4πr)/2)
A=(2πrP-8π^2 r^2)/2
A=πrP-4π^2 r^2
D"A=πP-8π^2 r
D"=-8π^2 máximo en r=p/8π
R=πP/(8π^2 )
R=P/8π
A=πP*P-4π^2 (〖P/8)〗^2
A=(〖P/8)〗^2-4π^2 (P/(64π^2 ) )^2
A=(〖P/8)〗^2-(〖P/16)〗^2
A=π〖(P)〗^2 [1/8-1/16]
A=(〖P/16)〗^2
2/16=1/16
A=((〖P)〗^2)/16
Comprobación
P=4πr+2h⟶h= (P-4πr)/2
A=(〖(P〗^2))/16
R=P/8π⟶2= P/8π
A=〖(16π)〗^2/16= (256 π^2)/16
A=16π^2
16π=P→P=16π
h=16π-8π
h=〖(8π)〗^2/2→h=4π
lunes, 8 de noviembre de 2010
Optimización 2
Acercamiento al problema
La posible solución o acercamiento al problema planteado.
Se pretende fabricar una lata de conserva cilíndrica (con tapa) de 1 litro de capacidad. ¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que se utilice el mínimo posible de metal?
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Acercamiento al problema
La posible solución o acercamiento al problema planteado.
Se pretende fabricar una lata de conserva cilíndrica (con tapa) de 1 litro de capacidad. ¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que se utilice el mínimo posible de metal?
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Optimización
La optimización o programación matemática intenta dar respuesta a un tipo general de problemas donde se desea elegir el mejor entre un conjunto de elementos. En su forma más simple, el problema equivale a resolver una ecuación de este tipo:
Un problema de optimización consiste en minimizar o maximizar el valor de una variable. En otras Palabras se trata de calcular o determinar el valor mínimo o el valor máximo de una función de una variable.
Un triángulo isósceles de perímetro 30 cm, gira alrededor de su altura engendrando un cono. ¿Qué valor debe darse a la base para que el volumen del cono sea máximo?
Triángulo
Resolución
Resolución
Resolución
Resolución
Resolución
Resolución
Resolución
Resolución
Derivada segunda
Derivada segunda
Derivada segunda
La optimización o programación matemática intenta dar respuesta a un tipo general de problemas donde se desea elegir el mejor entre un conjunto de elementos. En su forma más simple, el problema equivale a resolver una ecuación de este tipo:
Un problema de optimización consiste en minimizar o maximizar el valor de una variable. En otras Palabras se trata de calcular o determinar el valor mínimo o el valor máximo de una función de una variable.
Un triángulo isósceles de perímetro 30 cm, gira alrededor de su altura engendrando un cono. ¿Qué valor debe darse a la base para que el volumen del cono sea máximo?
Triángulo
Resolución
Resolución
Resolución
Resolución
Resolución
Resolución
Resolución
Resolución
Derivada segunda
Derivada segunda
Derivada segunda
Optimización
La optimización o programación matemática intenta dar respuesta a un tipo general de problemas donde se desea elegir el mejor entre un conjunto de elementos. En su forma más simple, el problema equivale a resolver una ecuación de este tipo:
Un problema de optimización consiste en minimizar o maximizar el valor de una variable. En otras Palabras se trata de calcular o determinar el valor mínimo o el valor máximo de una función de una variable.
La optimización o programación matemática intenta dar respuesta a un tipo general de problemas donde se desea elegir el mejor entre un conjunto de elementos. En su forma más simple, el problema equivale a resolver una ecuación de este tipo:
Un problema de optimización consiste en minimizar o maximizar el valor de una variable. En otras Palabras se trata de calcular o determinar el valor mínimo o el valor máximo de una función de una variable.
Criterios de la primera y segunda derivada y puntos criticos
Criterios de la primera derivada
La base del presente criterio radica en observar que los máximos o mínimos locales son consecuencia de observar los siguientes hechos:
1.- Cuando la derivada es positiva la función crece.
2.- Cuando la derivada es negativa la función decrece.
3.- Cuando la derivada es cero la función tiene un máximo o un mínimo.
Sea f(x) una función y c un número en su dominio. Supongamos que existe a y b con a
Entonces f tiene un máximo local en c.
Nótese que un criterio similar puede tenerse para obtener un mínimo local, solo es necesario intercambiar “positivo” por “negativo”.
Criterios de la segunda derivada
El Criterio o prueba de la segunda derivada es un teorema o método del cálculo matemático en el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los máximos y mínimos relativos.
Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en un intervalo abierto que contiene a c, y f'(c) = 0,f(c)debe ser un mínimo relativo de f. De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava hacia abajo en un intervalo abierto que contiene a c y f'(c) = 0,f(c)debe ser un máximo relativo de f.
Sea f una función tal que f'(c) = 0 y la segunda derivada de f existe en un intervalo abierto que contiene a c
1. Si f''(c) > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en (c,f(c)).
2. Si f''(c) < 0, entonces f tiene un máximo relativo en (c,f(c)). Si f''(c) = 0, entonces el criterio falla. Esto es, f quizás tenga un máximo relativo en c, un mínimo relativo en (c,f(c)) o ninguno de los dos. En tales casos, se puede utilizar el criterio de la primera derivada o el criterio de la tercera derivada. Ejemplo: Y= 20+e/3-2x exp3 Y=20+1/3e-2x exp3 Derivar Y’ =0+1/3*e-2x exp3*(-6x2) Y´=2x2*e-2x exp3 Se deriva nuevamente, esa es la segunda derivada: Y´´= -4x*e-2x exp3+ (-2x2)* e-2x exp3*(-6x2) a´ b a b´ y´´= -4xe-2x exp3+12x4e-2x exp3 Se puede factoríza. Puntos críticos Por punto crítico se entiende: un punto singular, un punto donde no exista la derivada o un punto extremo a ó b del dominio [a,b] de definición de la función. Puntos máximos y mínimos Máximos y mínimos, conocido colectivamente como extrema, sea el valor más grande (máximo) o el valor más pequeño (mínimo). Recordemos también que si f derivable posee un máximo o un mínimo relativo en entonces f´(x) = 0; es decir, ese es un punto de tangente horizontal. Veamos los criterios básicos para decidir si un punto es máximo o mínimo relativo: 1. Por la definición en un entorno del punto. 2. Por la variación del signo de la derivada primera en un entorno del punto, aunque la función no sea derivable en dicho punto: a. f decreciente en (a,c) y creciente en (c,b) posee un mínimo en (c,f(c)). b. f creciente en (a,c) y decreciente en (c,b) posee un máximo en (c,f(c)). 1. EJEMPLOS Por el signo de la derivada segunda en dicho punto (la función ha de ser dos veces derivable). a. Si f´(a) = 0 y f´´(x) > 0, f posee en a un mínimo local.
b. Si f´(a) = 0 y f´´(x) < 0, f posee en a un máximo local. Encontrar máximos y mínimos Encontrar máximos y mínimos globales es la meta de optimización. Si una función es continua en un intervalo cerrado, entonces por teorema extremo del valor los máximos y los mínimos globales existen. Además, un máximo global (o el mínimo) debe ser un máximo local (o mínimo) dentro del dominio, o debe mentir en el límite del dominio. Puntos de inflexión Un punto I(a,f(a)) es de inflexión si en dicho punto la función pasa de cóncava a convexa o viceversa. Proposición. Sea f dos veces derivable en a. Si a es punto de inflexión, entonces f´´(a) = 0 Demostración: Si es f´´(a) > 0 ó f´´(a) < 0 y sería convexa o cóncava.
Un punto de inflexión es un punto donde los valores de x de una función continua pasan de un tipo de concavidad a otro. La curva "atraviesa" la tangente. Matemáticamente la derivada segunda de la función f en el punto de inflexión es cero, o no existe.
En el cálculo de varias variables a estos puntos de inflexión se les conoce como puntos de ensilladura.
Criterios de la primera derivada
La base del presente criterio radica en observar que los máximos o mínimos locales son consecuencia de observar los siguientes hechos:
1.- Cuando la derivada es positiva la función crece.
2.- Cuando la derivada es negativa la función decrece.
3.- Cuando la derivada es cero la función tiene un máximo o un mínimo.
Sea f(x) una función y c un número en su dominio. Supongamos que existe a y b con ac en el intervalo.
Entonces f tiene un máximo local en c.
Nótese que un criterio similar puede tenerse para obtener un mínimo local, solo es necesario intercambiar “positivo” por “negativo”.
Criterios de la segunda derivada
El Criterio o prueba de la segunda derivada es un teorema o método del cálculo matemático en el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los máximos y mínimos relativos.
Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en un intervalo abierto que contiene a c, y f'(c) = 0,f(c)debe ser un mínimo relativo de f. De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava hacia abajo en un intervalo abierto que contiene a c y f'(c) = 0,f(c)debe ser un máximo relativo de f.
Sea f una función tal que f'(c) = 0 y la segunda derivada de f existe en un intervalo abierto que contiene a c
1. Si f''(c) > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en (c,f(c)).
2. Si f''(c) < 0, entonces f tiene un máximo relativo en (c,f(c)). Si f''(c) = 0, entonces el criterio falla. Esto es, f quizás tenga un máximo relativo en c, un mínimo relativo en (c,f(c)) o ninguno de los dos. En tales casos, se puede utilizar el criterio de la primera derivada o el criterio de la tercera derivada Ejemplo: Y= 20+e/3-2x exp3 Y=20+1/3e-2x exp3 Derivar Y’ =0+1/3*e-2x exp3*(-6x2) Y´=2x2*e-2x exp3 Se deriva nuevamente, esa es la segunda derivada: Y´´= -4x*e-2x exp3+ (-2x2)* e-2x exp3*(-6x2) a´ b a b´ y´´= -4xe-2x exp3+12x4e-2x exp3 Se puede factoríza. Puntos críticos Por punto crítico se entiende: un punto singular, un punto donde no exista la derivada o un punto extremo a ó b del dominio [a,b] de definición de la función. Puntos máximos y mínimos Máximos y mínimos, conocido colectivamente como extrema, sea el valor más grande (máximo) o el valor más pequeño (mínimo). Recordemos también que si f derivable posee un máximo o un mínimo relativo en entonces f´(x) = 0; es decir, ese es un punto de tangente horizontal. Veamos los criterios básicos para decidir si un punto es máximo o mínimo relativo: 1. Por la definición en un entorno del punto. 2. Por la variación del signo de la derivada primera en un entorno del punto, aunque la función no sea derivable en dicho punto: a. f decreciente en (a,c) y creciente en (c,b) posee un mínimo en (c,f(c)). b. f creciente en (a,c) y decreciente en (c,b) posee un máximo en (c,f(c)). Por el signo de la derivada segunda en dicho punto (la función ha de ser dos veces derivable). a. Si f´(a) = 0 y f´´(x) > 0, f posee en a un mínimo local.
b. Si f´(a) = 0 y f´´(x) < 0, f posee en a un máximo local. Encontrar máximos y mínimos Encontrar máximos y mínimos globales es la meta de optimización. Si una función es continua en un intervalo cerrado, entonces por teorema extremo del valor los máximos y los mínimos globales existen. Además, un máximo global (o el mínimo) debe ser un máximo local (o mínimo) dentro del dominio, o debe mentir en el límite del dominio. Puntos de inflexión Un punto I(a,f(a)) es de inflexión si en dicho punto la función pasa de cóncava a convexa o viceversa. Proposición. Sea f dos veces derivable en a. Si a es punto de inflexión, entonces f´´(a) = 0 Demostración: Si es f´´(a) > 0 ó f´´(a) < 0 y sería convexa o cóncava.
Un punto de inflexión es un punto donde los valores de x de una función continua pasan de un tipo de concavidad a otro. La curva "atraviesa" la tangente. Matemáticamente la derivada segunda de la función f en el punto de inflexión es cero, o no existe.
En el cálculo de varias variables a estos puntos de inflexión se les conoce como puntos de ensilladura.
La base del presente criterio radica en observar que los máximos o mínimos locales son consecuencia de observar los siguientes hechos:
1.- Cuando la derivada es positiva la función crece.
2.- Cuando la derivada es negativa la función decrece.
3.- Cuando la derivada es cero la función tiene un máximo o un mínimo.
Sea f(x) una función y c un número en su dominio. Supongamos que existe a y b con a
Entonces f tiene un máximo local en c.
Nótese que un criterio similar puede tenerse para obtener un mínimo local, solo es necesario intercambiar “positivo” por “negativo”.
Criterios de la segunda derivada
El Criterio o prueba de la segunda derivada es un teorema o método del cálculo matemático en el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los máximos y mínimos relativos.
Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en un intervalo abierto que contiene a c, y f'(c) = 0,f(c)debe ser un mínimo relativo de f. De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava hacia abajo en un intervalo abierto que contiene a c y f'(c) = 0,f(c)debe ser un máximo relativo de f.
Sea f una función tal que f'(c) = 0 y la segunda derivada de f existe en un intervalo abierto que contiene a c
1. Si f''(c) > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en (c,f(c)).
2. Si f''(c) < 0, entonces f tiene un máximo relativo en (c,f(c)). Si f''(c) = 0, entonces el criterio falla. Esto es, f quizás tenga un máximo relativo en c, un mínimo relativo en (c,f(c)) o ninguno de los dos. En tales casos, se puede utilizar el criterio de la primera derivada o el criterio de la tercera derivada Ejemplo: Y= 20+e/3-2x exp3 Y=20+1/3e-2x exp3 Derivar Y’ =0+1/3*e-2x exp3*(-6x2) Y´=2x2*e-2x exp3 Se deriva nuevamente, esa es la segunda derivada: Y´´= -4x*e-2x exp3+ (-2x2)* e-2x exp3*(-6x2) a´ b a b´ y´´= -4xe-2x exp3+12x4e-2x exp3 Se puede factoríza. Puntos críticos Por punto crítico se entiende: un punto singular, un punto donde no exista la derivada o un punto extremo a ó b del dominio [a,b] de definición de la función. Puntos máximos y mínimos Máximos y mínimos, conocido colectivamente como extrema, sea el valor más grande (máximo) o el valor más pequeño (mínimo). Recordemos también que si f derivable posee un máximo o un mínimo relativo en entonces f´(x) = 0; es decir, ese es un punto de tangente horizontal. Veamos los criterios básicos para decidir si un punto es máximo o mínimo relativo: 1. Por la definición en un entorno del punto. 2. Por la variación del signo de la derivada primera en un entorno del punto, aunque la función no sea derivable en dicho punto: a. f decreciente en (a,c) y creciente en (c,b) posee un mínimo en (c,f(c)). b. f creciente en (a,c) y decreciente en (c,b) posee un máximo en (c,f(c)). Por el signo de la derivada segunda en dicho punto (la función ha de ser dos veces derivable). a. Si f´(a) = 0 y f´´(x) > 0, f posee en a un mínimo local.
b. Si f´(a) = 0 y f´´(x) < 0, f posee en a un máximo local. Encontrar máximos y mínimos Encontrar máximos y mínimos globales es la meta de optimización. Si una función es continua en un intervalo cerrado, entonces por teorema extremo del valor los máximos y los mínimos globales existen. Además, un máximo global (o el mínimo) debe ser un máximo local (o mínimo) dentro del dominio, o debe mentir en el límite del dominio. Puntos de inflexión Un punto I(a,f(a)) es de inflexión si en dicho punto la función pasa de cóncava a convexa o viceversa. Proposición. Sea f dos veces derivable en a. Si a es punto de inflexión, entonces f´´(a) = 0 Demostración: Si es f´´(a) > 0 ó f´´(a) < 0 y sería convexa o cóncava.
Un punto de inflexión es un punto donde los valores de x de una función continua pasan de un tipo de concavidad a otro. La curva "atraviesa" la tangente. Matemáticamente la derivada segunda de la función f en el punto de inflexión es cero, o no existe.
En el cálculo de varias variables a estos puntos de inflexión se les conoce como puntos de ensilladura.
¿Qué Es una derivada?
Representa cómo una función cambia (valor de la variable dependiente) a medida que su entrada (valor de la variable independiente) cambia. En términos poco rigurosos, una derivada puede ser vista como cuánto está cambiando el valor de una función en un punto dado (o sea su velocidad de variación).
La derivada de una función en un valor de entrada dado que describe la mejor aproximación lineal de una función cerca del valor de entrada.
Primera derivada
La primera derivada no es solo útil en el trazado de las curvas para determinar los extremos relativos, sino, también, para determinar los intervalos donde crece y decrece una curva.
Derivada de una función constante
Sea una función constante f(x) = C.
Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a es un punto cualquiera del campo de definición de f(x), f(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que
Luego la derivada de una constante es siempre cero.
Derivada de una función exponencial
La derivada de la función exponencial de base e igual a la misma función por la derivada del exponente.
La derivada de la función exponencial e igual a la misma función por el logaritmo de la base y por la derivada del exponente.
Derivada de un producto
La derivada del producto de dos funciones es igual al primer factor por la derivada del segundo más el segundo factor por la derivada del primero.
Derivada de un cociente
La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador menos la derivada del denominador por el numerador, divididas por el cuadrado del denominador.
Derivada de una raíz
La derivada de la raíz enésima de una función es igual a la derivada del radicando partida por la n veces la raíz enésima de la función radicando elevada a n menos uno.
Derivación implícita
En los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamos están expresadas en forma explícita, como en la ecuación
Dónde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo, muchas funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. La función y = 1 / x, viene definida implícitamente por la ecuación: x y = 1.
Si queremos hallar la derivada para esta última ecuación, lo hacemos despejando y, así, y = 1 / x = x -1, obteniendo su derivada fácilmente: .
Ejemplo 1:
Aquí las variables coinciden: se deriva normalmente.
Derivación en cadena
En cálculo, de la derivada de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones.
Por ejemplo si y = f(u) es una función derivable de u y si además u = g(x) es una función derivable de x entonces y = f(g(x)) es una función derivable con:
Representa cómo una función cambia (valor de la variable dependiente) a medida que su entrada (valor de la variable independiente) cambia. En términos poco rigurosos, una derivada puede ser vista como cuánto está cambiando el valor de una función en un punto dado (o sea su velocidad de variación).
La derivada de una función en un valor de entrada dado que describe la mejor aproximación lineal de una función cerca del valor de entrada.
Primera derivada
La primera derivada no es solo útil en el trazado de las curvas para determinar los extremos relativos, sino, también, para determinar los intervalos donde crece y decrece una curva.
Derivada de una función constante
Sea una función constante f(x) = C.
Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a es un punto cualquiera del campo de definición de f(x), f(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que
Luego la derivada de una constante es siempre cero.
Derivada de una función exponencial
La derivada de la función exponencial de base e igual a la misma función por la derivada del exponente.
La derivada de la función exponencial e igual a la misma función por el logaritmo de la base y por la derivada del exponente.
Derivada de un producto
La derivada del producto de dos funciones es igual al primer factor por la derivada del segundo más el segundo factor por la derivada del primero.
Derivada de un cociente
La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador menos la derivada del denominador por el numerador, divididas por el cuadrado del denominador.
Derivada de una raíz
La derivada de la raíz enésima de una función es igual a la derivada del radicando partida por la n veces la raíz enésima de la función radicando elevada a n menos uno.
Derivación implícita
En los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamos están expresadas en forma explícita, como en la ecuación
Dónde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo, muchas funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. La función y = 1 / x, viene definida implícitamente por la ecuación: x y = 1.
Si queremos hallar la derivada para esta última ecuación, lo hacemos despejando y, así, y = 1 / x = x -1, obteniendo su derivada fácilmente: .
Ejemplo 1:
Aquí las variables coinciden: se deriva normalmente.
Derivación en cadena
En cálculo, de la derivada de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones.
Por ejemplo si y = f(u) es una función derivable de u y si además u = g(x) es una función derivable de x entonces y = f(g(x)) es una función derivable con:
Malla
OBJETIVO DE GRADO:
Estudiar funciones de variable real, límites y derivadas, como conceptos básicos para resolver problemas de la vida, que involucren minimizar o maximizar cantidades, costos, áreas, tiempo.
PREGUNTA PROBLEMATIZADORA:
¿CUÁLES DEBEN SER LAS DIMENSIONES ÓPTIMAS PARA QUE EL COSTO DEL MATERIAL EMPLEADO EN UNA LATA DE CERVEZA, COCACOLA O ATÚN SEA MINIMO?
CONCLUSIONES.
* En cada periodo encontramos una pregunta problematizad ora, y dan a conocer los contenidos de cada periodo y ayuda a que los estudiantes estemos enterados de los temas de cada periodo.
* Como objetivo busca dar a conocer los temas de cada año y periodo.
* Aprender que las matemáticas son importantes en la vida, que nos sirven para infinidad de cosas y con esta malla nos ayuda a solucionar problemas.
* Con la pregunta problematizadora nos dan a enterar el tema central de cada periodo.
GRADO: ONCE
PERIODO: PRIMERO INTENSIDAD HORARIA : 3 horas semanales
DOCENTE: GUILLERMO LEÓN ROLDÁN SOSA
OBJETIVO DE GRADO:
Estudiar funciones de variable real, límites y derivadas, como conceptos básicos para resolver problemas de la vida, que involucren minimizar o maximizar cantidades, costos, áreas, tiempo. PREGUNTA PROBLEMATIZADORA:
¿CUÁLES DEBEN SER LAS DIMENSIONES ÓPTIMAS PARA QUE EL COSTO DEL MATERIAL EMPLEADO EN UNA LATA DE CERVEZA, COCACOLA O ATÚN SEA MINIMO?
CONTENIDOS
ESTANDARES
COMPETENCIAS
LOGROS
INDICADORES DE DESEMPEÑO
INSTANCIAS VERIFICADORAS
ACCIONES EVALUATIVAS
FECHAS
Desigualdades e Inecuaciones.
Axiomas de orden en R.
Intervalos.
Propiedades de las desigualdades
Problemas.
VALOR ABSOLUTO.
Definición.
Propiedades.
Ejercicios
FUNCIONES.
Definición.
Funciones básicas
Dominio, Rango
Problemas de la vida. Pensamiento numérico y sistemas numéricos
Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos
Formular, plantear, transformar y resolver problemas a partir de situaciones de la vida cotidiana, de las otras ciencias y de las matemáticas mismas.
Utilizar diferentes registros de representación o sistemas de notación simbólica para crear, expresar y representar ideas matemáticas; para utilizar y transformar
dichas representaciones y, con ellas, formular y sustentar puntos de vista
Usar la argumentación, la prueba y la refutación, el ejemplo y el contraejemplo, como medios de validar y rechazar conjeturas, y avanzar en el camino hacia la demostración.
Dominar procedimientos y algoritmos matemáticos y conocer cómo, cuándo y porqué usarlos de manera
flexible y eficaz.
Resolver inecuaciones por el método del cementerio
Y el método analítico.
Resolver ecuaciones e inecuación que contienen valores absolutos.
Aplicar la definición de función a diferentes relaciones.
Resolver problemas que involucran funciones.
Resuelve inecuaciones por el método del cementerio
Y el método analítico.
Resuelve ecuaciones e inecuación que contienen valores absolutos.
Aplica la definición de función a diferentes
Resuelve problemas que involucran funciones.
1. La solución de inecuaciones por el método del cementerio
Y el método analítico.
2. La solución de ecuaciones e inecuación que contienen valores absolutos.
3. La aplicación de la definición de función a diferentes
relaciones
4. La solución a problemas que involucran funciones.
El valor y el respeto al trabajo y la participación del otro, en todos los ámbitos académicos y de convivencia.
Evaluación escrita
Evaluación escrita
Evaluación escrita
Evaluación escrita
.
Semana 4
Semana 5
Semana 6
Semana 8
GRADO: ONCE
PERIODO: SEGUNDO
INTENSIDAD HORARIA : 3 horas semanales
DOCENTE: GUILLERMO LEÓN ROLDÁN SOSA
OBJETIVO DE GRADO:
Estudiar funciones de variable real, límites y derivadas, como conceptos básicos para resolver problemas de la vida, que involucren minimizar o maximizar cantidades, costos, áreas, tiempo. PREGUNTA PROBLEMATIZADORA:
¿CUÁLES DEBEN SER LAS DIMENSIONES ÓPTIMAS PARA QUE EL COSTO DEL MATERIAL EMPLEADO EN UNA LATA DE CERVEZA, COCACOLA O ATÚN SEA MINIMO?
CONTENIDOS
ESTANDARES
COMPETENCIAS
LOGROS
INDICADORES DE DESEMPEÑO
INSTANCIAS VERIFICADORAS
ACCIONES EVALUATIVAS
FECHAS
Transformación de funciones.
Desplazamientos
Verticales.
Desplazamiento horizontal.
Reflexión.
Estiramiento y acortamiento vertical.
Acortamiento y alargamiento horizontal.
Función par e impar.
Dominio, Rango.
Interceptos.
Función uno a uno
Y sobre.
Función Inyectiva.
Función Inversa. Pensamiento numérico y sistemas numéricos
Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos
Formular, plantear, transformar y resolver problemas a partir de situaciones de la vida cotidiana, de las otras ciencias y de las matemáticas mismas.
Utilizar diferentes registros de representación o sistemas de notación simbólica para crear, expresar y representar ideas matemáticas; para utilizar y transformar
dichas representaciones y, con ellas, formular y sustentar puntos de vista
Usar la argumentación, la prueba y la refutación, el ejemplo y el contraejemplo, como medios de validar y rechazar conjeturas, y avanzar en el camino hacia la demostración.
Dominar procedimientos y algoritmos matemáticos y conocer cómo, cuándo y porqué usarlos de manera
flexible y eficaz.
Graficar funciones partiendo de funciones básicas, empleando los conceptos de traslación, estiramiento, encogimiento y reflexión.
Determinar el Dominio, el Rango y los intersectos de una función.
Identificar, clasificar una función en par o impar.
Identificar si una función tiene inversa y calcularla. Grafica funciones partiendo de funciones básicas, empleando los conceptos de traslación, estiramiento, encogimiento y reflexión.
Determina el Dominio, el Rango y los intersectos de una función.
Identifica, clasifica una función en par o impar.
Identifica si una función tiene inversa y la calcula
1. La gráfica de una función usando funciones básicas, desplazamientos verticales y horizontales.
2. La gráfica de una función usando funciones básicas, alargamientos y reflexiones verticales y horizontales
3. El cálculo del Dominio, Rango, Interceptos.
4. La determinación si la gráfica de una FUNCIÓN es inyectiva y, si por lo tanto tiene
Inversa.
.
El valor y el respeto al trabajo y la participación del otro, en todos los ámbitos académicos y de convivencia.
Evaluación escrita
Evaluación escrita
Evaluación escrita
Evaluación escrita
.
Semana 4
Semana 5
Semana 6
Semana 8
RECURSOS PEDAGOGICOS
Ordenadores, programas o proyectos virtuales como DESCARTES y GEOGEBRA, DVD’, sala de informática, Internet, libros virtuales, papel cuadriculado, lápiz, reglas, escuadras, libros , fotocopias, borradores, tizas, marcadores, GRUPO GALOIS.
GRADO: ONCE
PERIODO: TERCERO
INTENSIDAD HORARIA : 3 horas semanales
DOCENTE: GUILLERMO LEÓN ROLDÁN SOSA
OBJETIVO DE GRADO:
Estudiar funciones de variable real, límites y derivadas, como conceptos básicos para resolver problemas de la vida, que involucren minimizar o maximizar cantidades, costos, áreas, tiempo. PREGUNTA PROBLEMATIZADORA:
¿CUÁLES DEBEN SER LAS DIMENSIONES ÓPTIMAS PARA QUE EL COSTO DEL MATERIAL EMPLEADO EN UNA LATA DE CERVEZA, COCACOLA O ATÚN SEA MINIMO?
CONTENIDOS
ESTANDARES
COMPETENCIAS
LOGROS
INDICADORES DE DESEMPEÑO
INSTANCIAS VERIFICADORAS
ACCIONES EVALUATIVAS
FECHAS
LIMITES.
Definición, ejemplos, ejercicios
Continuidad,
Teorema del valor intermedio.
DERIVADA.
Recta tangente y normal a una curva.
Velocidad instantánea.
Definición de Derivada.
Reglas de derivación.
Regla de la cadena
Derivada implícita. Pensamiento numérico y sistemas numéricos
Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos
Formular, plantear, transformar y resolver problemas a partir de situaciones de la vida cotidiana, de las otras ciencias y de las matemáticas mismas.
Utilizar diferentes registros de representación o sistemas de notación simbólica para crear, expresar y representar ideas matemáticas; para utilizar y transformar
dichas representaciones y, con ellas, formular y sustentar puntos de vista
Usar la argumentación, la prueba y la refutación, el ejemplo y el contraejemplo, como medios de validar y rechazar conjeturas, y avanzar en el camino hacia la demostración.
Dominar procedimientos y algoritmos matemáticos y conocer cómo, cuándo y porqué usarlos de manera
flexible y eficaz.
Calcular límites cuando la variable tiende a un valor finito.
Eliminar indeterminaciones
de la forma 0/0.
Determinar la continuidad de una función.
Calcular la derivada de funciones. Calcula límites cuando la variable tiende a un valor finito.
Elimina indeterminaciones
de la forma 0/0.
Determina la continuidad de una función.
Calcula la derivada de funciones.
1. El cálculo de límites cuando la variable tiende a un valor finito.
2. La eliminación de indeterminaciones de la forma 0/0.
3. La determinación de la continuidad o no de una función.
4. El calcular la derivada de una función real.
.
El valor y el respeto al trabajo y la participación del otro, en todos los ámbitos académicos y de convivencia.
Evaluación escrita
Evaluación escrita
Evaluación escrita
Evaluación escrita
.
Semana 4
Semana 5
Semana 6
Semana 8
RECURSOS PEDAGOGICOS
Ordenadores, programas o proyectos virtuales como DESCARTES y GEOGEBRA, DVD’, sala de informática, Internet, libros virtuales, papel cuadriculado, lápiz, reglas, escuadras, libros , fotocopias, borradores, tizas, marcadores, GRUPO GALOIS.
GRADO: ONCE
PERIODO: CUARTO INTENSIDAD HORARIA : 3 horas semanales
DOCENTE: GUILLERMO LEÓN ROLDÁN SOSA
OBJETIVO DE GRADO:
Estudiar funciones de variable real, límites y derivadas, como conceptos básicos para resolver problemas de la vida, que involucren minimizar o maximizar cantidades, costos, áreas, tiempo. PREGUNTA PROBLEMATIZADORA:
¿CUÁLES DEBEN SER LAS DIMENSIONES ÓPTIMAS PARA QUE EL COSTO DEL MATERIAL EMPLEADO EN UNA LATA DE CERVEZA, COCACOLA O ATÚN SEA MINIMO?
CONTENIDOS
ESTANDARES
COMPETENCIAS
LOGROS
INDICADORES DE DESEMPEÑO
INSTANCIAS VERIFICADORAS
ACCIONES EVALUATIVAS
FECHAS
APLICACIONES
DE LA DERIVADA.
Máximos y mínimos relativos y absolutos.
Números críticos.
Teorema del valor medio y el valor extremo.
Criterios de la primera y segunda derivada
Concavidad.
Problemas de OPTIMIZACIÖN. Pensamiento numérico y sistemas numéricos
Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos
Formular, plantear, transformar y resolver problemas a partir de situaciones de la vida cotidiana, de las otras ciencias y de las matemáticas mismas.
Utilizar diferentes registros de representación o sistemas de notación simbólica para crear, expresar y representar ideas matemáticas; para utilizar y transformar
dichas representaciones y, con ellas, formular y sustentar puntos de vista
Usar la argumentación, la prueba y la refutación, el ejemplo y el contraejemplo, como medios de validar y rechazar conjeturas, y avanzar en el camino hacia la demostración.
Dominar procedimientos y algoritmos matemáticos y conocer cómo, cuándo y porqué usarlos de manera
flexible y eficaz.
Hallar máximos y mínimos relativos y absolutos de una función.
Obtener valores críticos de una función.
Determinar intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Determinar concavidad.
Resolver problemas de Optimización
Halla máximos y mínimos relativos y absolutos de una función.
Obtiene valores críticos de una función.
Determina intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Determina concavidad.
Resuelve problemas de Optimización
1. Los máximos y mínimos relativos y absolutos de una función.
2. Los valores críticos de una función.
3. Los intervalos de crecimiento y decrecimiento. La
Determinación de la concavidad.
4. La solución de problemas de Optimización
El valor y el respeto al trabajo y la participación del otro, en todos los ámbitos académicos y de convivencia.
Evaluación escrita
Evaluación escrita
Evaluación escrita
Evaluación escrita
.
Semana 4
Semana 5
Semana 6
Semana 8
RECURSOS PEDAGOGICOS
Ordenadores, programas o proyectos virtuales como DESCARTES y GEOGEBRA, DVD’, sala de informática, Internet, libros virtuales, papel cuadriculado, lápiz, reglas, escuadras, libros , fotocopias, borradores, tizas, marcadores, GRUPO GALOIS.
OBJETIVO DE GRADO:
Estudiar funciones de variable real, límites y derivadas, como conceptos básicos para resolver problemas de la vida, que involucren minimizar o maximizar cantidades, costos, áreas, tiempo.
PREGUNTA PROBLEMATIZADORA:
¿CUÁLES DEBEN SER LAS DIMENSIONES ÓPTIMAS PARA QUE EL COSTO DEL MATERIAL EMPLEADO EN UNA LATA DE CERVEZA, COCACOLA O ATÚN SEA MINIMO?
CONCLUSIONES.
* En cada periodo encontramos una pregunta problematizad ora, y dan a conocer los contenidos de cada periodo y ayuda a que los estudiantes estemos enterados de los temas de cada periodo.
* Como objetivo busca dar a conocer los temas de cada año y periodo.
* Aprender que las matemáticas son importantes en la vida, que nos sirven para infinidad de cosas y con esta malla nos ayuda a solucionar problemas.
* Con la pregunta problematizadora nos dan a enterar el tema central de cada periodo.
GRADO: ONCE
PERIODO: PRIMERO INTENSIDAD HORARIA : 3 horas semanales
DOCENTE: GUILLERMO LEÓN ROLDÁN SOSA
OBJETIVO DE GRADO:
Estudiar funciones de variable real, límites y derivadas, como conceptos básicos para resolver problemas de la vida, que involucren minimizar o maximizar cantidades, costos, áreas, tiempo. PREGUNTA PROBLEMATIZADORA:
¿CUÁLES DEBEN SER LAS DIMENSIONES ÓPTIMAS PARA QUE EL COSTO DEL MATERIAL EMPLEADO EN UNA LATA DE CERVEZA, COCACOLA O ATÚN SEA MINIMO?
CONTENIDOS
ESTANDARES
COMPETENCIAS
LOGROS
INDICADORES DE DESEMPEÑO
INSTANCIAS VERIFICADORAS
ACCIONES EVALUATIVAS
FECHAS
Desigualdades e Inecuaciones.
Axiomas de orden en R.
Intervalos.
Propiedades de las desigualdades
Problemas.
VALOR ABSOLUTO.
Definición.
Propiedades.
Ejercicios
FUNCIONES.
Definición.
Funciones básicas
Dominio, Rango
Problemas de la vida. Pensamiento numérico y sistemas numéricos
Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos
Formular, plantear, transformar y resolver problemas a partir de situaciones de la vida cotidiana, de las otras ciencias y de las matemáticas mismas.
Utilizar diferentes registros de representación o sistemas de notación simbólica para crear, expresar y representar ideas matemáticas; para utilizar y transformar
dichas representaciones y, con ellas, formular y sustentar puntos de vista
Usar la argumentación, la prueba y la refutación, el ejemplo y el contraejemplo, como medios de validar y rechazar conjeturas, y avanzar en el camino hacia la demostración.
Dominar procedimientos y algoritmos matemáticos y conocer cómo, cuándo y porqué usarlos de manera
flexible y eficaz.
Resolver inecuaciones por el método del cementerio
Y el método analítico.
Resolver ecuaciones e inecuación que contienen valores absolutos.
Aplicar la definición de función a diferentes relaciones.
Resolver problemas que involucran funciones.
Resuelve inecuaciones por el método del cementerio
Y el método analítico.
Resuelve ecuaciones e inecuación que contienen valores absolutos.
Aplica la definición de función a diferentes
Resuelve problemas que involucran funciones.
1. La solución de inecuaciones por el método del cementerio
Y el método analítico.
2. La solución de ecuaciones e inecuación que contienen valores absolutos.
3. La aplicación de la definición de función a diferentes
relaciones
4. La solución a problemas que involucran funciones.
El valor y el respeto al trabajo y la participación del otro, en todos los ámbitos académicos y de convivencia.
Evaluación escrita
Evaluación escrita
Evaluación escrita
Evaluación escrita
.
Semana 4
Semana 5
Semana 6
Semana 8
GRADO: ONCE
PERIODO: SEGUNDO
INTENSIDAD HORARIA : 3 horas semanales
DOCENTE: GUILLERMO LEÓN ROLDÁN SOSA
OBJETIVO DE GRADO:
Estudiar funciones de variable real, límites y derivadas, como conceptos básicos para resolver problemas de la vida, que involucren minimizar o maximizar cantidades, costos, áreas, tiempo. PREGUNTA PROBLEMATIZADORA:
¿CUÁLES DEBEN SER LAS DIMENSIONES ÓPTIMAS PARA QUE EL COSTO DEL MATERIAL EMPLEADO EN UNA LATA DE CERVEZA, COCACOLA O ATÚN SEA MINIMO?
CONTENIDOS
ESTANDARES
COMPETENCIAS
LOGROS
INDICADORES DE DESEMPEÑO
INSTANCIAS VERIFICADORAS
ACCIONES EVALUATIVAS
FECHAS
Transformación de funciones.
Desplazamientos
Verticales.
Desplazamiento horizontal.
Reflexión.
Estiramiento y acortamiento vertical.
Acortamiento y alargamiento horizontal.
Función par e impar.
Dominio, Rango.
Interceptos.
Función uno a uno
Y sobre.
Función Inyectiva.
Función Inversa. Pensamiento numérico y sistemas numéricos
Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos
Formular, plantear, transformar y resolver problemas a partir de situaciones de la vida cotidiana, de las otras ciencias y de las matemáticas mismas.
Utilizar diferentes registros de representación o sistemas de notación simbólica para crear, expresar y representar ideas matemáticas; para utilizar y transformar
dichas representaciones y, con ellas, formular y sustentar puntos de vista
Usar la argumentación, la prueba y la refutación, el ejemplo y el contraejemplo, como medios de validar y rechazar conjeturas, y avanzar en el camino hacia la demostración.
Dominar procedimientos y algoritmos matemáticos y conocer cómo, cuándo y porqué usarlos de manera
flexible y eficaz.
Graficar funciones partiendo de funciones básicas, empleando los conceptos de traslación, estiramiento, encogimiento y reflexión.
Determinar el Dominio, el Rango y los intersectos de una función.
Identificar, clasificar una función en par o impar.
Identificar si una función tiene inversa y calcularla. Grafica funciones partiendo de funciones básicas, empleando los conceptos de traslación, estiramiento, encogimiento y reflexión.
Determina el Dominio, el Rango y los intersectos de una función.
Identifica, clasifica una función en par o impar.
Identifica si una función tiene inversa y la calcula
1. La gráfica de una función usando funciones básicas, desplazamientos verticales y horizontales.
2. La gráfica de una función usando funciones básicas, alargamientos y reflexiones verticales y horizontales
3. El cálculo del Dominio, Rango, Interceptos.
4. La determinación si la gráfica de una FUNCIÓN es inyectiva y, si por lo tanto tiene
Inversa.
.
El valor y el respeto al trabajo y la participación del otro, en todos los ámbitos académicos y de convivencia.
Evaluación escrita
Evaluación escrita
Evaluación escrita
Evaluación escrita
.
Semana 4
Semana 5
Semana 6
Semana 8
RECURSOS PEDAGOGICOS
Ordenadores, programas o proyectos virtuales como DESCARTES y GEOGEBRA, DVD’, sala de informática, Internet, libros virtuales, papel cuadriculado, lápiz, reglas, escuadras, libros , fotocopias, borradores, tizas, marcadores, GRUPO GALOIS.
GRADO: ONCE
PERIODO: TERCERO
INTENSIDAD HORARIA : 3 horas semanales
DOCENTE: GUILLERMO LEÓN ROLDÁN SOSA
OBJETIVO DE GRADO:
Estudiar funciones de variable real, límites y derivadas, como conceptos básicos para resolver problemas de la vida, que involucren minimizar o maximizar cantidades, costos, áreas, tiempo. PREGUNTA PROBLEMATIZADORA:
¿CUÁLES DEBEN SER LAS DIMENSIONES ÓPTIMAS PARA QUE EL COSTO DEL MATERIAL EMPLEADO EN UNA LATA DE CERVEZA, COCACOLA O ATÚN SEA MINIMO?
CONTENIDOS
ESTANDARES
COMPETENCIAS
LOGROS
INDICADORES DE DESEMPEÑO
INSTANCIAS VERIFICADORAS
ACCIONES EVALUATIVAS
FECHAS
LIMITES.
Definición, ejemplos, ejercicios
Continuidad,
Teorema del valor intermedio.
DERIVADA.
Recta tangente y normal a una curva.
Velocidad instantánea.
Definición de Derivada.
Reglas de derivación.
Regla de la cadena
Derivada implícita. Pensamiento numérico y sistemas numéricos
Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos
Formular, plantear, transformar y resolver problemas a partir de situaciones de la vida cotidiana, de las otras ciencias y de las matemáticas mismas.
Utilizar diferentes registros de representación o sistemas de notación simbólica para crear, expresar y representar ideas matemáticas; para utilizar y transformar
dichas representaciones y, con ellas, formular y sustentar puntos de vista
Usar la argumentación, la prueba y la refutación, el ejemplo y el contraejemplo, como medios de validar y rechazar conjeturas, y avanzar en el camino hacia la demostración.
Dominar procedimientos y algoritmos matemáticos y conocer cómo, cuándo y porqué usarlos de manera
flexible y eficaz.
Calcular límites cuando la variable tiende a un valor finito.
Eliminar indeterminaciones
de la forma 0/0.
Determinar la continuidad de una función.
Calcular la derivada de funciones. Calcula límites cuando la variable tiende a un valor finito.
Elimina indeterminaciones
de la forma 0/0.
Determina la continuidad de una función.
Calcula la derivada de funciones.
1. El cálculo de límites cuando la variable tiende a un valor finito.
2. La eliminación de indeterminaciones de la forma 0/0.
3. La determinación de la continuidad o no de una función.
4. El calcular la derivada de una función real.
.
El valor y el respeto al trabajo y la participación del otro, en todos los ámbitos académicos y de convivencia.
Evaluación escrita
Evaluación escrita
Evaluación escrita
Evaluación escrita
.
Semana 4
Semana 5
Semana 6
Semana 8
RECURSOS PEDAGOGICOS
Ordenadores, programas o proyectos virtuales como DESCARTES y GEOGEBRA, DVD’, sala de informática, Internet, libros virtuales, papel cuadriculado, lápiz, reglas, escuadras, libros , fotocopias, borradores, tizas, marcadores, GRUPO GALOIS.
GRADO: ONCE
PERIODO: CUARTO INTENSIDAD HORARIA : 3 horas semanales
DOCENTE: GUILLERMO LEÓN ROLDÁN SOSA
OBJETIVO DE GRADO:
Estudiar funciones de variable real, límites y derivadas, como conceptos básicos para resolver problemas de la vida, que involucren minimizar o maximizar cantidades, costos, áreas, tiempo. PREGUNTA PROBLEMATIZADORA:
¿CUÁLES DEBEN SER LAS DIMENSIONES ÓPTIMAS PARA QUE EL COSTO DEL MATERIAL EMPLEADO EN UNA LATA DE CERVEZA, COCACOLA O ATÚN SEA MINIMO?
CONTENIDOS
ESTANDARES
COMPETENCIAS
LOGROS
INDICADORES DE DESEMPEÑO
INSTANCIAS VERIFICADORAS
ACCIONES EVALUATIVAS
FECHAS
APLICACIONES
DE LA DERIVADA.
Máximos y mínimos relativos y absolutos.
Números críticos.
Teorema del valor medio y el valor extremo.
Criterios de la primera y segunda derivada
Concavidad.
Problemas de OPTIMIZACIÖN. Pensamiento numérico y sistemas numéricos
Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos
Formular, plantear, transformar y resolver problemas a partir de situaciones de la vida cotidiana, de las otras ciencias y de las matemáticas mismas.
Utilizar diferentes registros de representación o sistemas de notación simbólica para crear, expresar y representar ideas matemáticas; para utilizar y transformar
dichas representaciones y, con ellas, formular y sustentar puntos de vista
Usar la argumentación, la prueba y la refutación, el ejemplo y el contraejemplo, como medios de validar y rechazar conjeturas, y avanzar en el camino hacia la demostración.
Dominar procedimientos y algoritmos matemáticos y conocer cómo, cuándo y porqué usarlos de manera
flexible y eficaz.
Hallar máximos y mínimos relativos y absolutos de una función.
Obtener valores críticos de una función.
Determinar intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Determinar concavidad.
Resolver problemas de Optimización
Halla máximos y mínimos relativos y absolutos de una función.
Obtiene valores críticos de una función.
Determina intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Determina concavidad.
Resuelve problemas de Optimización
1. Los máximos y mínimos relativos y absolutos de una función.
2. Los valores críticos de una función.
3. Los intervalos de crecimiento y decrecimiento. La
Determinación de la concavidad.
4. La solución de problemas de Optimización
El valor y el respeto al trabajo y la participación del otro, en todos los ámbitos académicos y de convivencia.
Evaluación escrita
Evaluación escrita
Evaluación escrita
Evaluación escrita
.
Semana 4
Semana 5
Semana 6
Semana 8
RECURSOS PEDAGOGICOS
Ordenadores, programas o proyectos virtuales como DESCARTES y GEOGEBRA, DVD’, sala de informática, Internet, libros virtuales, papel cuadriculado, lápiz, reglas, escuadras, libros , fotocopias, borradores, tizas, marcadores, GRUPO GALOIS.
Problema
“En este proyecto, se investiga el modo más económico de formar una lata. En primer lugar, esto significa que se da el volumen V de una lata cilíndrica y necesita hallar la altura h y el radio r que minimice el costo del metal para fabricarla. Si hace caso omiso de cualquier desecho de metal en el proceso de fabricación, el problema es minimizar el área superficial del cilindro. En el ejemplo 2 de la sección 4.7, se resolvió este problema y halló que h=2r; es decir, la altura debe ser igual al diámetro. Pero si usted va a su alacena o al supermercado con una regla, descubrirá que la altura suele ser mayor que el diámetro y que la relación h/r varía desde 2 hasta alrededor de 3.8." (Stewart 2008).
¿Puedes explicar este fenómeno?
Posible solución
Para la solución del problema un método para ahorrar el metal de las latas la altura debe ser igual a h=2r (2 radios). Esto quiere decir que para ahorrar el metal el diámetro y la altura deben ser iguales. En los mercados para obtener un poco más de volumen y ahorrar en la lata utilizan una de mayor altura que el diámetro, para así obtener mayor volumen, ya que si su radio fuera el diámetro mayor se gastaría más lata, ya que la circunferencia es mayor y sus lados gastan mas hasta dar la vuelta a la lata en si. En conclusión si se desea ahorrar en la elaboración de la lata la altura debe ser mayor al diámetro, lo cual no solo ahorra si no que también da un mayor contenido.
“En este proyecto, se investiga el modo más económico de formar una lata. En primer lugar, esto significa que se da el volumen V de una lata cilíndrica y necesita hallar la altura h y el radio r que minimice el costo del metal para fabricarla. Si hace caso omiso de cualquier desecho de metal en el proceso de fabricación, el problema es minimizar el área superficial del cilindro. En el ejemplo 2 de la sección 4.7, se resolvió este problema y halló que h=2r; es decir, la altura debe ser igual al diámetro. Pero si usted va a su alacena o al supermercado con una regla, descubrirá que la altura suele ser mayor que el diámetro y que la relación h/r varía desde 2 hasta alrededor de 3.8." (Stewart 2008).
¿Puedes explicar este fenómeno?
Posible solución
Para la solución del problema un método para ahorrar el metal de las latas la altura debe ser igual a h=2r (2 radios). Esto quiere decir que para ahorrar el metal el diámetro y la altura deben ser iguales. En los mercados para obtener un poco más de volumen y ahorrar en la lata utilizan una de mayor altura que el diámetro, para así obtener mayor volumen, ya que si su radio fuera el diámetro mayor se gastaría más lata, ya que la circunferencia es mayor y sus lados gastan mas hasta dar la vuelta a la lata en si. En conclusión si se desea ahorrar en la elaboración de la lata la altura debe ser mayor al diámetro, lo cual no solo ahorra si no que también da un mayor contenido.
Intervención
El Internet es uno de los medios mas frecuentados por las personas debido a su gran contenido, además de ser uno de los métodos mas usados para la educacion, gracias a sus altos contenidos en información los maestros lo usan como un implemento de enseñanza
En la ciudad de Medellín entidades han hecho posible algunas mejoras en sistemas de enseñanza sen los colegios de calidad, lo cual facilita la comunicación entre el docente y el estudiante.
Entidades como la UNESCO declararon el potencial que tiene la tecnología en el mundo de hoy y lo útil que es para la enseñanza.
Las redes también pueden contribuir con el aprendizaje, de una manera tal en que los estudiantes puedan intercambiar sus puntos de vista y conocer lo que piensan los demás, y adquirir mayores ideas.
Generar espacios donde se implemente la educacion por medio de actividades virtuales donde se expongan sus opiniones y trabajar con respeto, ya que todos tienen puntos de vista distintos.
Esta propuesta lo que pretende buscar es la implementación de las tic como un método nuevo de aprendizaje, y abrirnos a un mundo nuevo en la educación reemplazando todos los libros por plataformas virtuales donde los estudiantes puedan compartir y exponer sus ideas libremente.
Gracias a este medio los estudiantes pueden aprender a desarrollar actividades y problemas matemáticos sin la nesecidad de la explicación del profesor, con este método los estudiantes pueden encontrar una forma de aprendizaje en la cual se acomoden mas fácilmente y puedan entender mejor, sin olvidar que tienen la posibilidad de compartir sus inquietudes con otros compañeros.
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