Criterios de la primera y segunda derivada y puntos criticos


Criterios de la primera derivada

La base del presente criterio radica en observar que los máximos o mínimos locales son consecuencia de observar los siguientes hechos:
1.- Cuando la derivada es positiva la función crece.
2.- Cuando la derivada es negativa la función decrece.
3.- Cuando la derivada es cero la función tiene un máximo o un mínimo.
Sea f(x) una función y c un número en su dominio. Supongamos que existe a y b con ac en el intervalo.
Entonces f tiene un máximo local en c.
Nótese que un criterio similar puede tenerse para obtener un mínimo local, solo es necesario intercambiar “positivo” por “negativo”.






Criterios de la segunda derivada

El Criterio o prueba de la segunda derivada es un teorema o método del cálculo matemático en el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los máximos y mínimos relativos.
Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en un intervalo abierto que contiene a c, y f'(c) = 0,f(c)debe ser un mínimo relativo de f. De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava hacia abajo en un intervalo abierto que contiene a c y f'(c) = 0,f(c)debe ser un máximo relativo de f.
Sea f una función tal que f'(c) = 0 y la segunda derivada de f existe en un intervalo abierto que contiene a c
1. Si f''(c) > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en (c,f(c)).
2. Si f''(c) < 0, entonces f tiene un máximo relativo en (c,f(c)). Si f''(c) = 0, entonces el criterio falla. Esto es, f quizás tenga un máximo relativo en c, un mínimo relativo en (c,f(c)) o ninguno de los dos. En tales casos, se puede utilizar el criterio de la primera derivada o el criterio de la tercera derivada. Ejemplo: Y= 20+e/3-2x exp3 Y=20+1/3e-2x exp3 Derivar Y’ =0+1/3*e-2x exp3*(-6x2) Y´=2x2*e-2x exp3 Se deriva nuevamente, esa es la segunda derivada: Y´´= -4x*e-2x exp3+ (-2x2)* e-2x exp3*(-6x2) a´ b a b´ y´´= -4xe-2x exp3+12x4e-2x exp3 Se puede factoríza. Puntos críticos Por punto crítico se entiende: un punto singular, un punto donde no exista la derivada o un punto extremo a ó b del dominio [a,b] de definición de la función. Puntos máximos y mínimos Máximos y mínimos, conocido colectivamente como extrema, sea el valor más grande (máximo) o el valor más pequeño (mínimo). Recordemos también que si f derivable posee un máximo o un mínimo relativo en entonces f´(x) = 0; es decir, ese es un punto de tangente horizontal. Veamos los criterios básicos para decidir si un punto es máximo o mínimo relativo: 1. Por la definición en un entorno del punto. 2. Por la variación del signo de la derivada primera en un entorno del punto, aunque la función no sea derivable en dicho punto: a. f decreciente en (a,c) y creciente en (c,b) posee un mínimo en (c,f(c)). b. f creciente en (a,c) y decreciente en (c,b) posee un máximo en (c,f(c)). 1. EJEMPLOS Por el signo de la derivada segunda en dicho punto (la función ha de ser dos veces derivable). a. Si f´(a) = 0 y f´´(x) > 0, f posee en a un mínimo local.
b. Si f´(a) = 0 y f´´(x) < 0, f posee en a un máximo local. Encontrar máximos y mínimos Encontrar máximos y mínimos globales es la meta de optimización. Si una función es continua en un intervalo cerrado, entonces por teorema extremo del valor los máximos y los mínimos globales existen. Además, un máximo global (o el mínimo) debe ser un máximo local (o mínimo) dentro del dominio, o debe mentir en el límite del dominio. Puntos de inflexión Un punto I(a,f(a)) es de inflexión si en dicho punto la función pasa de cóncava a convexa o viceversa. Proposición. Sea f dos veces derivable en a. Si a es punto de inflexión, entonces f´´(a) = 0 Demostración: Si es f´´(a) > 0 ó f´´(a) < 0 y sería convexa o cóncava.
Un punto de inflexión es un punto donde los valores de x de una función continua pasan de un tipo de concavidad a otro. La curva "atraviesa" la tangente. Matemáticamente la derivada segunda de la función f en el punto de inflexión es cero, o no existe.
En el cálculo de varias variables a estos puntos de inflexión se les conoce como puntos de ensilladura.